关于直径、半径与 Helly 性质的一个故事

若图中任意两两相交的球族都有非空公共交集，则称该图为 Helly 图。受先前关于对偶弦图和有界距离 VC-维图工作的启发，我们证明了关于 Helly 图及相关图类上计算直径和半径复杂性的若干新结果。* 首先，我们提出给定以 $n$ 个顶点 $m$ 条边 Helly 图 $G$ 为输入的算法，以高概率（w.h.p.）在 $\tilde{\cal O}(m\sqrt{n})$ 时间内计算其半径和直径。我们的算法基于 Helly 性质以及 Helly 图中偏心函数的单峰性带来的若干推论：每个局部最小偏心顶点都是中心顶点。* 接着，我们聚焦于无 $C_4$ 的 Helly 图，其包含桥接 Helly 图等子类，从而也包含弦 Helly 图和遗传 Helly 图。对于无 $C_4$ 的 Helly 图，我们提出了计算所有顶点偏心的线性时间算法。由此，我们将先前关于强弦图的结果推广至更大的子类。* 最后，我们从弦 Helly 图上的发现推导出一个更一般的从弦图直径计算到分裂图直径计算或 {\sc Disjoint Set} 问题的多对一归约。因此，分裂图在某种意义上是弦图直径计算唯一的困难实例。作为我们归约的副产品，弦图中所有顶点的偏心可在 ${\cal O}(m\log{n})$ 时间内以至多一的单边加性误差近似，且在 VC-维为常数的任意弦图子类中，直径可在真次二次时间内计算。上述结果朝着更好理解抽象几何性质在度量图不变量快速计算中的作用迈出了新的一步。