超越 Helly 图：绝对收缩核上的直径问题

刻画这样的图类：对其中的 $n$ 顶点 $m$ 边图，我们能以快于 ${\cal O}(nm)$ 的时间计算直径，是理论与实践中一个重要研究问题。我们在此针对某些度量定义的图类朝此方向迈出一新步。具体而言，图 $G$ 的子图 $H$ 若为其某个幂等自同态的像，则称为 $G$ 的收缩核。 $H$ 为 $G$ 的收缩核的两个必要条件是 $H$ 是 $G$ 的等距且等色子图。我们说 $H$ 是某图类 ${\cal C}$ 的绝对收缩核，若它是任意 $G \in {\cal C}$ 的收缩核，且 $H$ 是后者的等色且等距子图。本文中，我们研究在各遗传图类的绝对收缩核内计算直径的复杂度。首先，我们展示如何以随机化 $\tilde{\cal O}(m\sqrt{n})$ 时间在二部图的绝对收缩核内计算直径。对于弦二部图这一特例，可改进至线性时间，且算法甚至计算所有离心率。然后，我们将这些结果推广到每个固定 $k \geq 3$ 的 $k$-色图绝对收缩核。最后，我们分别研究平面图与分裂图的绝对收缩核内的直径问题。