计算（双曲）Helly 图中所有偏心率的快速确定性算法

若每族两两相交的球都有非空公共交集，则称一个图为 Helly 图。Helly 图类是可超凸度量空间类的离散类比。已知每个图都等距嵌入到 Helly 图中，这使得后者成为度量图论中一类重要的图。我们研究 Helly 图中的直径、半径及所有偏心率的计算。在合理的复杂性假设下，一般图上的直径和半径均无法在真正的次二次时间内计算。与这些负面结果相反，最近研究表明，一个 $n$ 顶点 $m$ 边的 Helly 图 $G$ 的半径和直径可以高概率在 $\tilde{\mathcal O}(m\sqrt{n})$ 时间内（即关于 $n+m$ 次二次）计算。在本文中，我们改进了该结果，给出了一个确定性的 ${\mathcal O}(m\sqrt{n})$ 时间算法，该算法不仅计算 Helly 图的半径和直径，还计算所有顶点偏心率。此外，我们针对 Helly 图上的该问题给出了一个参数化线性时间算法，参数为 Gromov 双曲性 $\delta$。更具体地，我们证明一个 $m$ 边 $\delta$-双曲 Helly 图 $G$ 的半径和一个中心顶点可在 $\mathcal O(\delta m)$ 时间内计算，且 $G$ 中所有顶点偏心率可在 $\mathcal O(\delta^2 m)$ 时间内计算。为证明这一更一般的结果，我们大量使用了为 Helly 图所获得的新的结构性质。