关于超图、团与双团的广义 Helly 性质

一个集合族若其任意 $p$ 个或更少集合的非空子族的总交集中至少有 $q$ 个元素，则称其为 $(p,q)$-相交的。一个集合族若其任意非空的 $(p,q)$-相交子族的总交集基数至少为 $q$，则称其具有 $(p,q)$-Helly 性质。$(2,1)$-Helly 性质即通常的 Helly 性质。若一个超图的边族具有 $(p,q)$-Helly 性质，则称其为 $(p,q)$-Helly 超图；若其每个子超图均具有 $(p,q)$-Helly 性质，则称其为遗传 $(p,q)$-Helly 超图。若一个图的极大团族具有 $(p,q)$-Helly 性质，则称其为 $(p,q)$-团-Helly 图；若其每个诱导子图均为 $(p,q)$-团-Helly 图，则称其为遗传 $(p,q)$-团-Helly 图。$(p,q)$-双团-Helly 图与遗传 $(p,q)$-双团-Helly 图类类比定义。我们证明了遗传 $(p,q)$-Helly 超图的若干刻画，包括一个基于极小禁用部分子超图的刻画。我们对每个固定的 $q$ 给出了 $(p,q)$-Helly 超图识别时间的改进界，并表明若 $p$ 与 $q$ 固定则遗传 $(p,q)$-Helly 超图的识别可在多项式时间内求解，但若 $p$ 为输入的一部分则为 co-NP-完全。此外，我们将 $p$-团-Helly 图基于扩张的刻画推广到 $(p,q)$-团-Helly 图，并给出了遗传 $(p,q)$-团-Helly 图的不同刻画，包括一个基于禁用诱导子图的刻画。我们改进了 $(p,q)$-团-Helly 图识别的时间界，并证明遗传 $(p,q)$-团-Helly 图的识别问题在 $p$ 与 $q$ 固定时为多项式时间可解，但若 $p$ 或 $q$ 为输入的一部分则为 NP-困难。最后，我们为（遗传）$(p,q)$-双团-Helly 图提供了不同刻画、给出了识别算法并证明了困难性结果。