基于随机场的几何覆盖

若向量集 $S \subseteq \mathbb{R}^d$ 可被 $k_1$ 个半径为 $\varepsilon$ 的球覆盖，则称其为 $(k_1,\varepsilon)$-可聚类的。若 $S \subseteq \mathbb{R}^d$ 中至少存在 $k_2$ 个向量且两两距离均不小于 $\delta$，则称其为 $(k_2,\delta)$-远离可聚类。我们提出一种概率算法来区分这两种情形。我们的算法仅通过考察由随机场定义的标量值哈希函数在 $S$ 上的极值来做出决策；因此，它特别适用于分布式与在线场景。我们方法的一个重要特征是算法对向量数量不敏感：例如，在在线设置中，算法仅存储常数个标量，与流长度无关。我们引入了随机场哈希函数，它是我们范式中的关键要素。随机场哈希函数推广了局部敏感哈希（LSH）。除 LSH 所要求的“邻近向量被哈希到相近值”之外，我们的哈希函数还保证“对于远距离向量，哈希值是（近似）独立的随机变量”。我们给出了定义应用于该问题的随机场的核的必要条件，以及一种核最优性的度量，并为其提供了界。随后，我们提出一种构造逼近最优核的方法。