有限点集确定的普通圆锥曲线数量

我们证明了 $\mathbb{R}^2$ 中有限点集所确定的普通圆锥曲线数量的一个下界。对于 $\mathbb{R}^2$ 的子集 $S$，普通圆锥曲线是由 $S$ 的五个点确定且不包含 $S$ 的其他点的圆锥曲线。Wiseman 和 Wilson 证明了 Sylvester-Gallai 型命题：若有限点集不包含于一条圆锥曲线中，则它确定至少一条普通圆锥曲线。我们给出了他们结果的一个更简单的证明，并将其与 Green 和 Tao 的结果结合来证明我们的主要结果：若 $S$ 不包含于一条圆锥曲线中，且一条直线上至多含有 $c|S|$ 个点，则 $S$ 确定 $\Omega_c(|S|^4)$ 条普通圆锥曲线。我们还给出了一个基于椭圆曲线群结构的构造，表明我们界限中的指数是最优可能的。