论整数中子集和与子序列和的最小大小

设 $\mathcal{A}$ 为 $rk$ 项的序列,由 $k$ 个互不相同的整数构成,每个整数在 $\mathcal{A}$ 中恰出现 $r$ 次。$\mathcal{A}$ 的某个子序列所有项之和称为 $\mathcal{A}$ 的子序列和。对非负整数 $\alpha \leq rk$,令 $\Sigma_{\alpha} (\mathcal{A})$ 为所有长度不小于 $\alpha$ 的子序列所对应的 $\mathcal{A}$ 的子序列和之集合。当 $r=1$ 时,我们称子序列和为子集和,并将 $\Sigma_{\alpha} (\mathcal{A})$ 记为 $\Sigma_{\alpha} (A)$。本文利用一些简单的组合论证,建立了 $\Sigma_{\alpha} (A)$ 与 $\Sigma_{\alpha} (\mathcal{A})$ 大小的最优下界。作为特例,我们也得到了该研究中一些已知结果。