缺失子序列数量的紧密上界

一个单词的子序列是指通过删除单词中一些字母且保持剩余字母相对顺序后得到的单词，例如 $\mathtt{lala}$ 是 $\mathtt{alfalfa}$ 的一个子序列。对于给定字母表 $\Sigma$ 的单词，若其包含所有长度为 $\iota$ 的单词作为子序列，则称为 $\iota$-普适单词，其中最大的 $\iota$ 称为该单词的普适性指数，记作 $\iota(w)$。此外，那些不是该单词子序列的单词称为该单词的缺失子序列（absent subsequence, AS），其研究始于（Kosche 等，2022）。本文给出给定长度 $\iota$ 的单词中缺失子序列数量的紧密上界。对于下界和上界，我们分别构造具有相应长度 $\iota$ 的单词中缺失子序列数量最小和最大的单词；在下界的情况下，我们给出了缺失子序列的确切数量，以闭合形式表示。最后，我们present对给定长度单词子序列集合的高效枚举算法：我们给出一种新颖的、最优的枚举算法，采用输出线性延迟的该子序列集合，预处理时间为 $O(|w|)$，进一步改进为一种采用 $O(1)$ 延迟的增量枚举算法，该子序列集合的预处理时间为 $O(|w|)$。