重新审视正则语言的 $k$-通用性

词 $w$ 的子序列是满足 $u = w[i_1] w[i_2] \cdots w[i_k]$ 的词 $u$，其中索引集 $1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_k \leq \vert w \vert$。如果字母表 $\Sigma$ 上长度至多为 $k$ 的每个词都作为子序列出现在 $w$ 中，则词 $w$ 在字母表 $\Sigma$ 上是 \emph{$k$-子序列通用的}。在本文中，我们重新审视 $k$-ESU 问题，即对于给定的整数 $k$，判断以非确定性有限自动机或正则表达式给定的正则语言是否包含 $k$-通用词。[Adamson 等，ISAAC 2023] 证明了该问题是NP难的，即使在 $k=1$ 的情况下也是如此，并给出了关于输入字母表大小的FPT算法。在本文中，我们改进了上述算法结果，并完成了该问题关于其他参数的分析。也就是说，我们针对输入字母表的大小提出了一种更高效的 $k$-ESU FPT算法，并针对输入自动机的状态数和输入正则表达式的长度提出了新的FPT算法。我们还讨论了相应的下界。我们的结果显著提高了对该问题的理解。