散因子普适性——余项的力量

散因子（循环）普适性由Barker等人于2020年首次提出。对于某个自然数$k$，若$w$字母表上所有长度为$k$的单词均作为散因子出现在$w$中，则称单词$w$为$k$-普适的；若$w$的某个共轭是$k$-普适的，则称其为循环$k$-普适的。此处，若存在（可能为空）的单词$v_1,\dots,v_{n+1}$使得$w=v_1u_1v_2\cdots v_nu_nv_{n+1}$，即$u$由从$w$中删除部分得到，则称单词$u=u_1\cdots u_n$为$w$的散因子。本文证明了前述论文中遗留的两个问题，即将其一个主要定理推广至任意字母表，以及对另一定理作轻微修正从而用普适性刻画循环普适性。在此过程中，我们深入揭示了在考虑单词重复时Hebrard所谓arch因子分解的余项的行为。