Christoffel词与Sturmian词中的划分因子

Borel与Reutenauer(2006)除其他外证明了：长度$n>1$的词$w$与某个Christoffel词共轭，当且仅当对$k=0,1,\dots,n-1$，$w$有$k+1$个长度为$k$的不同循环因子。Sturmian词是Christoffel词的无限对应物，其特征为非周期但具有最小复杂度，即对所有$n\in\mathbb{N}$存在$n+1$个长度为$n$的因子。Berthé(1996)证明了Sturmian情形中给定长度的因子至多有三种频率(概率)。本文将结果推广到固定划分(将长度$m$的因子分解为长度由$m$的$k$部分组合给出的词之拼接)下Christoffel词与Sturmian词的因子。由此划分为$k$个元素的任意Sturmian词因子(相应地，Christoffel词的循环因子)属于$k+1$个等价类(品种)之一。我们展示了在Christoffel词情形如何计算由组合决定的等价类大小，并展示了在Sturmian词情形如何计算各类的频率。有限情形的一个版本在极不同背景下(以音乐与数论术语表述)由Clough与Myerson(1985, 1986)证明；我们采用他们的术语，即品种(variety)与重数(multiplicity)。