关于自然数集补集中的加性补集

设 $A$ 为一自然数集。若所有充分大的自然数均可表示为 $x+y$ 的形式，其中 $x\in A$ 且 $y\in B$，则称自然数集 $B$ 为集合 $A$ 的一个加性补集。Erdős 提出了一个猜想：每个无限自然数集都有一个稀疏加性补集，Lorentz 于 1954 年证明了该猜想。本文描述了集合 $A$ 的那些作为 $A$ 的补集的子集的加性补集的存在性或非存在性。我们提供了一个比率检验法来验证此类加性补集的存在性。确切地说，我们证明了：若 $A=\{a_i: i\in \mathbb{N}\}$ 是一个自然数集，满足对 $i \in \mathbb{N}$ 有 $a_i < a_{i+1}$，且 $\liminf_{n\rightarrow \infty } (a_{n+1}/a_{n})>1$，则存在一个集合 $B\subset \mathbb{N}\setminus A$，使得 $B$ 是集合 $A$ 的一个稀疏加性补集。