关于群的均匀覆盖的Herzog-Schönheim猜想

设G为任意群，$a_1G_1,...,a_kG_k (k>1)$为G中的左陪集。1974年Herzog与Schönheim猜想：若$\Cal A=\{a_iG_i\}_{i=1}^k$是G的一个划分，则（有限的）指数$n_1=[G:G_1],...,n_k=[G:G_k]$不可能全互异。本文证明：若$\Cal A$以相同次数覆盖G的所有元素，且$G_1,...,G_k$是G的次正规子群并不全等于G，则$M=\max_{1\le j\le k}|\{1\le i\le k:n_i=n_j\}|$不小于$n_1... n_k$的最小素因子； moreover $\min_{1\ls i\ls k}\log n_i=O(M\log^2 M)$，其中O-常数为绝对常数。