三元系上 Erd\H os 猜想的简短证明

1965 年，Erd\H os 猜想：对于所有 $k\ge2$、$s\ge1$ 和 $n\ge k(s+1)$，满足 $\nu(\F)=s$ 的 $n$ 个顶点的 $k$-均匀超图 $\F$ 的边数不能超过 \newline $\max\{\binom{sk+k-1}k,\;\binom nk-\binom{n-s}k\}$。证明该猜想在三元系上成立花了近五十年。2012 年我们证明了该猜想对所有 $s$ 和所有 $n\ge4(s+1)$ 成立。随后 {\L}uczak 和 Mieczkowska（2013）证明了该猜想对所有 $n$ 在足够大的 $s$ 下成立。不久之后，Frankl 证明了它对所有 $s$ 成立。这里我们给出该证明的一个更简单的版本，得到 Erd\H os 猜想在 $s\ge33$ 时的结论。我们的动机是为更困难的 $k=4$ 情形（至少对于大 $s$）的可能证明奠定基础。