群中 Brown-Erdős-Sós 猜想的证明

Brown、Erdős 和 Sós 于 1973 年提出的猜想指出：对任意 $k \ge 3$，若一个具有 $n$ 个顶点的 $3$-一致超图 $H$ 不包含一组跨至少 $k$ 条边的 $k+3$ 个顶点，则其边数为 $o(n^2)$。该猜想在 $k=3$ 的情形下即为著名的 Ruzsa 和 Szemerédi 的 $(6,3)$-定理，它蕴含了关于整数稠密集中 $3$ 项算术级数的 Roth 定理。Solymosi 观察到，为证明该猜想，可假设 $H$ 由某个有限拟群 $\Gamma$ 的三元组 $(a, b, ab)$ 构成。由于此问题对所有 $k \geq 4$ 仍开放，他进一步提议研究源自有限群的三重系统。在此情形下，他证明了该猜想对 $k = 4$ 也成立。本文完全解决了所有有限群及所有 $k$ 值下的 Brown-Erdős-Sós 猜想。此外，我们证明了由群构造的超图包含大小为 $\Theta(\sqrt{k})$ 且跨 $k$ 条边的集合。这是最优的，且远远超出了该猜想。