关于 Brown、Erdős 和 Sós 的 $(6,4)$-问题

设 $f^{(r)}(n;s,k)$ 为 $n$ 个顶点上不含具有 $k$ 条边且至多 $s$ 个顶点的子图的 $r$-一致超图的最大边数。1973年，Brown、Erdős 和 Sós 猜想极限 $$\lim_{n\to \infty} n^{-2} f^{(3)}(n;k+2,k)$$ 对所有 $k$ 存在，并证实了 $k=2$ 的情形。最近，Glock 对 $k=3$ 证明了该猜想。我们解决了下一个开放情形 $k=4$，证明当 $n\to\infty$ 时 $f^{(3)}(n;6,4)=\left(\frac{7}{36}+o(1)\right)n^2$。更一般地，对所有 $k\in \{3,4\}$、$r\ge 3$ 以及 $t\in [2,r-1]$，我们计算了极限 $\lim_{n\to \infty} n^{-t}f^{(r)}(n;k(r-t)+t,k)$ 的值，从而解决了一个 Shangguan 和 Tamo 的问题。