Brown-Erdős-Sós 问题的幂次节省

令 $f(n, v, e)$ 表示在 $n$ 个顶点上的 3-一致超图中不包含 $v$ 个顶点张成至少 $e$ 条边的最大边数。极值组合学中一个由 Brown、Erdős 和 Sós 于 1973 年提出的著名问题询问：对每个 $e \ge 3$，是否有 $f(n, e+3, e)=o(n^2)$。Sárközy 和 Selkow 的一个经典结果表明，对每个 $e \ge 3$ 有 $f(n, e+\lfloor \log_2 e\rfloor+2, e)=o(n^{2})$。该界近来被 Conlon、Gishboliner、Levanzov 和 Shapira 改进。受其他问题应用的推动，Gowers 和 Long 作出了一个引人注目的猜想：对某个 $\varepsilon=\varepsilon(e)>0$，有 $f(n, e+4, e)=O(n^{2-\varepsilon})$。Conlon、Gishboliner、Levanzov 和 Shapira，以及后来的 Shapira 和 Tyomkyn 重申了该问题的如下近似版本。使得对某个 $\varepsilon=\varepsilon(e)>0$ 有 $f(n, e+d(e), e)=O(n^{2-\varepsilon})$ 的最小 $d(e)$ 是多少？在本文中，我们证明对每个 $e\geq 3$，对某个 $\varepsilon>0$ 有 $f(n, e+\lfloor \log_2 e\rfloor +38, e)=O(n^{2-\varepsilon})$。这表明，只需付出一个小的加性常数代价，便可在 Sárközy-Selkow 界附近获得幂次节省。