关于具有性质 O 的超图中最少边数的注记

若有向 $k$-一致超图对于顶点集的任意线性序，均存在某条边与该线性序相一致，则称其具有性质 O。近期 Duffus、Kay 和 Rödl 研究了具有性质 O 的 $k$-一致超图中最少边数 $f(k)$。他们证明了 $k! \leq f(k) \leq (k^2 \ln k) k!$，其中上界对足够大的 $k$ 成立。在此短注中，我们将他们的上界改进了 $k \ln k$ 的因子，证明了对任意 $k\geq 3$ 均有 $f(k) \le \left(\lfloor \frac{k}{2} \rfloor +1 \right) k! - \lfloor \frac{k}{2} \rfloor (k-1)!$。我们还证明了其下界不是紧的。此外，Duffus、Kay 和 Rödl 还研究了具有性质 O 的 $k$-一致超图中最少顶点数 $n(k)$。对于 $k=3$，他们证明了 $n(3) \in \{6,7,8,9\}$，并询问 $n(3)$ 的精确值。这里我们证明 $n(3)=6$。