关于 Brown、Erd\H{o}s 和 S\'os 针对 $k=5,6,7$ 的 $(k+2,k)$-问题

令 $f^{(r)}(n;s,k)$ 表示不含具有 $k$ 条边且至多 $s$ 个顶点的子图的 $n$ 顶点 $r$-一致超图中的最大边数。Brown、Erd\H{o}s 和 S\'os [New directions in the theory of graphs (Proc. Third Ann Arbor Conf., Univ. Michigan 1971), pp. 53--63, Academic Press 1973] 猜想对于所有 $k$，极限 $\lim_{n\rightarrow \infty}n^{-2}f^{(3)}(n;k+2,k)$ 存在。该极限的值此前已在 Brown、Erd\H{o}s 和 S\'os 的原始论文中针对 $k=2$ 确定，由 Glock [Bull. Lond. Math. Soc. 51 (2019) 230--236] 针对 $k=3$ 确定，由 Glock、Joos、Kim、K"uhn、Lichev 和 Pikhurko [Proc. Amer. Math. Soc., Series B, 11 (2024) 173-186] 针对 $k=4$ 确定，而 Delcourt 和 Postle [Proc. Amer. Math. Soc., 152 (2024), 1881-1891] 证明了该猜想（但未确定极限值）。在本文中，我们确定了 Brown-Erd\H{o}s-S\'os 问题中 $k\in \{5,6,7\}$ 时的极限值。更一般地，我们获得了所有 $r\geq 3$ 且 $k\in \{5,6,7\}$ 时 $\lim_{n\rightarrow \infty}n^{-2}f^{(r)}(n;rk-2k+2,k)$ 的值。此外，通过将这些新值与 Bennett、Cushman 和 Dudek [arXiv:2309.00182] 的最新结果相结合，我们获得了若干广义 Ramsey 数的新渐近值。