Erdős 覆盖系统的结构与数量

Erdős 于 1950 年引入的整数的覆盖系统是一组有限的算术级数，其并集为整数集 $\mathbb{Z}$。在过去几十年中，关于覆盖系统提出了许多优美的问题和猜想，但直到最近，人们对其性质知之甚少。最著名的是，Erdős 的最小模问题于 2015 年由 Hough 解决，他证明了在每个具有不同模的覆盖系统中，最小模至多为 $10^{16}$。在本文中，我们回答了 Erdős 在 1952 年提出的另一个关于最小覆盖系统数量的问题。更确切地说，我们证明了恰有 $n$ 个元素的最小覆盖系统的数量为 $$\exp\left( \left(\frac{4\sqrt{\tau}}{3} + o(1)\right) \frac{n^{3/2}}{(\log n)^{1/2}} \right)$$ 当 $n \to \infty$ 时，其中 $$\tau = \sum_{t = 1}^\infty \left( \log \frac{t+1}{t} \right)^2.$$ 在得到这一计数结果的过程中，我们获得了在适当意义下接近最优的所有覆盖系统的结构描述。