关于整数的覆盖系统

整数的覆盖系统是一组模剩余类的有限集合 $\{a_m \bmod{m}\}_{m \in S}$，其并为所有整数。给定模数的有限集合 $S$，通常很难判断是否存在模 $S$ 中元素的剩余类选择能覆盖整数。Hough 已证明，若 $S$ 中最小模至少为 $10^{16}$，则不存在这样的覆盖。然而，是否存在所有模均为奇数的整数覆盖系统这一问题仍然开放。我们考虑模数集上的乘法限制，以推广 Hough 对最小模问题的否定解。特别地，我们发现每个整数覆盖系统都有一个模能被小于或等于 $19$ 的素数整除。Hough 与 Nielsen 已证明每个覆盖系统都有一个模能被 $2$ 或 $3$ 整除。