关于作为群覆盖数的整数

群 $G$ 的覆盖数记为 $\sigma(G)$，是 $G$ 的真子群的最小集合的大小，该集合的并等于 $G$。我们研究哪些整数是群的覆盖数。我们确定了哪些不超过 $129$ 的整数是覆盖数，并通过引入有效的新计算技术，精确确定或界定了每个本原单核群（其本原性次数不超过 $129$）的覆盖数。此外，我们证明：若 $\mathscr{F}_1$ 是所有真商群均可解的有限群 $G$ 的族，则 $\mathbb{N}-\{\sigma(G):G\in \mathscr{F}_1\}$ 是无限的，这为无穷多个整数不是覆盖数提供了进一步证据。最后，我们证明每个形如 $(q^m-1)/(q-1)$ 的整数（其中 $m\neq3$ 且 $q$ 为素数幂）都是覆盖数，推广了 Cohn 的一个结果。