环的覆盖数

一个结合（不一定交换也未必含单位元）环 $R$ 的覆盖是 $R$ 的一族真子环，其集合论并等于 $R$。若这样的覆盖存在，则 $R$ 的覆盖数 $\sigma(R)$ 是一个极小覆盖的基数，且若对 $R$ 的每个非零双边理想 $I$ 都有 $\sigma(R) < \sigma(R/I)$，则称环 $R$ 为 $\sigma$-初等的。若 $R$ 是含单位元的环，则我们定义单位覆盖数 $\sigma_u(R)$ 为 $R$ 被包含 $1_R$ 的子环所构成极小覆盖的大小（若这样的覆盖存在），且若对 $R$ 的每个非零双边理想都有 $\sigma_u(R) < \sigma_u(R/I)$，则 $R$ 是 $\sigma_u$-初等的。在本文中，我们对所有 $\sigma$-初等含单位元环进行分类并确定其覆盖数。基于该分类，我们进一步能够对全部 $\sigma_u$-初等环分类并证明对每个 $\sigma_u$-初等环 $R$ 有 $\sigma_u(R) = \sigma(R)$。我们还证明，若 $R$ 是不含单位元且有有限覆盖的环，则存在含单位元环 $R'$ 使得 $\sigma(R) = \sigma_u(R')$，这进而给出作为某个环覆盖数的所有整数的完整列表。此外，若 $$\mathscr{E}(N) := \{m : m \le N, \sigma(R) = m \text{ 对某个环 } R\}$$，则我们证明 $|\mathscr{E}(N)| = \Theta(N/\log(N))$，这表明几乎所有整数都不是环的覆盖数。