环作为proper ideal的并

在本短文中，我们定义并研究了代数环的理想覆盖数（假设环不一定是交换的或具有单位元）：即由最少数量的proper 左理想、右理想或双侧理想的并等于该环所需的最小个数。对于每一个素数 $p$，我们构造了四个没有单位元的环的无限系列，达到理想覆盖数的尖锐下界 $p + 1$，这些系列在左、右和双侧理想覆盖方面各自 exhibit 不同的行为。根据 Lucchini 和 Mar\'{o}ti 的结果，我们还描述了所有理想覆盖数为 3 的环。最后，我们对这些不变量以及是否存在此类理想覆盖的环的结构作出了若干观察并提出了若干开放问题。