关于有限域上多项式环的覆盖系统

1950 年，Erdős 提出了一个被称为 $\mathbb{Z}$ 上覆盖系统最小模的问题，询问具有互异模的覆盖系统的最小模是否有界。这一长期未决问题最终由 Hough 于 2015 年解决，他证明了任何具有互异模的覆盖系统的最小模不超过 $10^{16}$。最近，Balister、Bollobás、Morris、Sahasrabudhe 和 Tiba 发展了一种称为扭曲方法的通用方法，并将 Hough 的界显著降低至 $616,000$。在本文中，我们应用该方法证明：对任意重数 $s$ 的 $\mathbb{F}_q[x]$ 覆盖系统，其模的最小次数由仅依赖于 $s$ 和 $q$ 的常数界定。由此，我们成功解决了 $\mathbb{F}_q[x]$ 上的最小模问题，并反驳了 Azlin 的一个猜想。