关于 A. W. Goodman 和 R. E. Goodman 的圆覆盖定理

1945年，A. W. Goodman 和 R. E. Goodman 证明了 P. Erd\H{o}s 的如下猜想：给定平面上半径分别为 $r_1$, $\ldots$, $r_n$ 的一族（圆）盘，只要它们不能被一条与这些盘不相交的直线分成两子族，就总能用半径为 $R = \sum r_i$ 的一个盘覆盖它们。在本注记中，我们表明本质上相同的思想可适用于他们结果的不同类比与推广。具体地，我们证明如下：给定固定凸体 $K \subset \mathbb{R}^d$ 的一族正位似拷贝，位似系数为 $\tau_1, \ldots, \tau_n > 0$，只要它们不能被一个与这些位似形不相交的超平面分成两子族，就总能用 $\frac{d+1}{2}\left(\sum \tau_i\right)K$ 的一个平移来覆盖它们。