假设Bombieri-Lang猜想下的有理距离集Erdős-Ulam问题的解
数论
2018-04-23 v3 代数几何
摘要
平面上的有理距离集是指其任意两点间距离均为有理数的点集。Erdős和Ulam于1945年猜想平面上不存在稠密的有理距离集。在本文中，我们将一个代数曲面——我们称之为距离曲面——与平面上的任意有限有理距离集相关联。在一定条件下，我们证明距离曲面总是一般型曲面。由此我们推出，算术代数几何中的Bombieri-Lang猜想（限制在曲面类上）蕴含了Erdős-Ulam问题的答案。结合Solymosi和de Zeeuw的结果，我们的证明导出了以下更强的结论：对于具有无穷多个点的有理距离集S，要么S中除至多四个点外都在一条直线上，要么S中除至多三个点外都在一个圆上。
引用
@article{arxiv.1501.00159,
title = {A solution of the Erdos-Ulam problem on rational distance sets assuming the Bombieri-Lang conjecture},
author = {Jafar Shaffaf},
journal= {arXiv preprint arXiv:1501.00159},
year = {2018}
}
备注
13 pages, analysis of singularity at infinity was added. Also a conjecture was added at the end of the paper