广义“和多于差”集大家族的显式构造
数论
2013-03-05 v1
摘要
“和多于差”（MSTD）集是包含于 {0, ..., n-1} 中的整数集 A，其和集 A+A 大于其差集 A-A。虽然已知当 n 趋于无穷时，{0, ..., n-1} 的子集中有正比例为 MSTD 集，但证明这一结论的方法是概率性的，且无法给出优美的显式构造。最近，Miller、Orosz 和 Scheinerman 给出了一个大族 MSTD 集的显式构造；尽管其密度低于正比例，但该族在 {0, ..., n-1} 子集中的密度至少为 C/n^4（对于某个 C>0），显著大于先前量级为 1/2^{n/2} 的构造。我们推广了他们的方法，并显式构造了一个满足 |A+A+A+A| > |(A+A)-(A+A)| 的大族集合 A。额外的和与差赋予了我们比 Miller、Orosz 和 Scheinerman 更大的自由度，并且我们发现，对于任意 epsilon>0，此类集合的密度至少为 C/n^epsilon。在构造此类集合的过程中，我们发现对于任意整数 k，存在一个 A 使得 |A+A+A+A| - |A+A-A-A| = k，并证明了此类集合的最小跨度为 30。
引用
@article{arxiv.1303.0605,
title = {Explicit Constructions of Large Families of Generalized More Sums Than Differences Sets},
author = {Steven J. Miller and Sean Pegado and Luc Robinson},
journal= {arXiv preprint arXiv:1303.0605},
year = {2013}
}
备注
11 pages, final version