由内部块隐藏的一族奇特 MSTD 集合的推广

若 $|A+A|>|A-A|$，则称集合 $A$ 为 MSTD（more-sum-than-difference，和占优）集合；若 $|A\hat{+}A|>|A-A|$，则称其为 RSD（restricted-sum dominant，受限和占优）集合，其中 $A\hat{+}A$ 为 $A$ 中不同元素之和的集合。我们研究文献中多次出现的一族有趣的 MSTD 集合（见 Hegarty、Martin 与 O'Bryant 以及 Penman 与 Wells 的著作）。这些集合初看像是特设构造，但以恰当方式审视可揭示一种良好的共性结构。具体而言，我们不以显式列举的集合看待它们，而是按递增顺序用两个连续数之差来表示。我们将该族记为 $\mathcal{F}$ 并研究其诸多性质。利用 $\mathcal{F}$，我们能够生成许多具有较高 $\log|A+A|/\log|A-A|$ 值的集合 $A$，比先前作者更经济地构造具有固定 $|A+A|-|A-A|$ 的集合 $A$，并将 $\{0,1,2,\dots,n-1\}$ 中 RSD 子集比例的下界提升至约 $10^{-25}$（此前最佳界为 $10^{-37}$）。最后，通过穷举计算机搜索，我们找到了六个基数为 $15$ 的 RSD 集合，比迄今所知最小基数少一，并发现 $30$ 是 RSD 集合的最小直径。