基数为 6 的集合不是和占优的

给定有限集 $A\subseteq \mathbb{N}$，定义和集 $$A+A = \{a_i+a_j\mid a_i,a_j\in A\}$$ 与差集 $$A-A = \{a_i-a_j\mid a_i,a_j\in A\}.$$ 若 $|A+A|>|A-A|$，则称集合 $A$ 为和占优的。Hegarty 使用非平凡算法发现 $8$ 是和占优集的最小基数。此后 Nathanson 要求给出该结果人类可理解的证明。然而，由于数之间相互作用的复杂性，是否能在无计算机帮助下完整写出这样的证明仍存疑问。在本文中，我们给出无计算机证明：和占优集必须至少含 $7$ 个元素。我们还回答了本文作者等人提出的关于素数的最小和占优集（就其最大元素而言）的问题。利用计算机，我们发现素数的最小和占优集以 $73$ 为最大元素，小于先前找到的值。