双线性平均、罗特定理及分数幂角的锐度定理

我们证明了对于每一个$c\in(1,23/22)$，每个概率空间$(X,\mathcal{B},\mu)$配备两个互作用的保 measure-preserving 变换$T,S\colon X\to X$以及每个$f,g\in L^{\infty}_{\mu}(X)$，都有$L^2_{\mu}(X)$-极限$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf(T^{\lfloor n^c\rfloor}x)g(S^{\lfloor n^c\rfloor}x)$$等于$lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^nf(T^{n}x)g(S^{n}x)$。该方法基于作者最近发展的技术，可视为变量变换。我们利用该方法在分数幂上建立了若干新结果，包括形态为$x,x+\lfloor y^c \rfloor,x+2\lfloor y^c \rfloor$的罗特型结果及其“角”类比。该结果的定量特性使我们能够恢复素数的类似结果。我们的考虑对Frantzikinakis的开放问题调查中第29题和第30题给出了部分答案。值得注意的是，我们涵盖了更一般的稀疏轨迹$(\lfloor h(n)\rfloor)_{n\in\mathbb{N}}$，其中h属于所谓的$c$-regularly可变函数类，例如即便是轨迹$(\lfloor n\log n\rfloor)_{n\in\mathbb{N}}$。