素数序列上的 Wiener Wintner 定理与返回时间定理

我们证明了以下关于素数序列上的 Return Times 定理的结果，这是将 Return Times 定理首次扩展到算术序列的工作：对于每个概率空间，$(\Omega,\nu)$，配备一个保 measure-preserving 变换 $T \colon \Omega \to \Omega$，以及每个 $f \in L^\infty(\Omega)$，存在一个满概率的集合，$\Omega_f \subset \Omega$ with $\nu(\Omega_f) =1$，使得对于所有 $\omega \in \Omega_f$，对于任何其他概率空间 $(X,\mu)$，配备一个保 measure-preserving 变换 $S : X \to X$，以及任意 $g \in L^{\infty}(X)$，\begin{align} \frac{1}{N} \sum_{n \leq N} f(T^{p_n} \omega) g(S^{p_n} \cdot) \end{align} 在 $\mu$-almost surely 收敛；上述，$\{ 2=p_1 < p_2 < \dots \}$ 是素数的枚举。素数上的 Wiener-Wintner 定理是直接的推论。我们的证明位于经典傅里叶分析、组合数论、更高阶傅里叶分析和点态 ergodic theory 的交叉界限，$U^3$ 理论发挥重要作用；我们的 $U^3$-estimates for Heath-Brown models of the von Mangoldt function 可能独有兴趣。