紧算子对称拟 Banach 理想上的导子

设 $\mathcal{I,J}$ 为无限维复 Hilbert 空间 $H$ 上紧算子的对称拟 Banach 理想，设 $\mathcal{J:I}$ 为从 $\mathcal{I}$ 到 $\mathcal{J}$ 的乘子空间。显然，理想 $\mathcal{I}$ 和 $\mathcal{J}$ 是拟 Banach 代数，且理想 $\mathcal{J}$ 是 $\mathcal{I}$ 的双模。我们研究了从 $\mathcal{I}$ 到 $\mathcal{J}$ 的所有导子的集合。我们证明，任何此类导子都是自动连续的，且存在一个算子 $a\in\mathcal{J:I}$ 使得 $\delta(\cdot)=[a,\cdot]$，此外 \|a\|_{\mathcal{B}(H)}\leq\|\delta\|_\mathcal{I\to J}\leq 2C\|a\|_{\mathcal{J:I}，其中 $C$ 是拟范数 $\|\cdot\|_\mathcal{J}$ 的凹性模。在特殊情况下，当 $\mathcal{I=J=K}(H)$ 为 $H$ 上紧算子的对称 Banach 理想时，我们的结果得出了经典事实：$\mathcal{K}(H)$ 上的任何导子 $\delta$ 都可以写成 $\delta(\cdot)=[a,\cdot]$，其中 $a$ 是 $H$ 上的某个有界算子，且 \|a\|_{\mathcal{B}(H)}\leq\|\delta\|_{\mathcal{I\to I}\leq 2\|a\|_{\mathcal{B}(H)。