II$_1$ 因子的光滑双模与上同调

我们证明，在相当一般的条件下，von Neumann 代数 $M$ 取值于满足光滑性与算子性组合条件的 Banach $M$-双模的 1-上同调为零。例如，我们表明若 $M$ 在 Hilbert 空间 $\Cal H$ 上正规作用，且 $\Cal B_0\subset \Cal B(\Cal H)$ 是一个范数闭 $M$-双模，使得任何 $T\in \Cal B_0$ 都是{\it 光滑的}（即 $x\in M$ 对 $T$ 的左乘和右乘从带 $s^*$-拓扑的 $M$ 单位球到带其范数的 $\Cal B_0$ 是连续的），则任何从 $M$ 到 $\Cal B_0$ 的导子都是内导子。紧算子在任何 $M\subset \Cal B(\Cal H)$ 上都是光滑的，但也存在大量非紧的光滑元。