关于Halmos关于Banach空间的第三个问题

设$X$是一个复可分无限维Banach空间，$\mathcal{B}(X)$表示从$X$到自身的所有有界线性算子构成的Banach代数。1970年，P.R. Halmos在Hilbert空间中提出了十个公开问题。第三个问题如下：若一个非传递算子$T$有逆，其逆是否也是非传递的？该问题与不变子空间问题密切相关。自Enflo在$\ell_1$上著名的反例否定地回答了不变子空间问题以来，Halmos第三个问题的Banach空间情形变得更为有趣。本文在某些谱条件下对该问题给出肯定回答。作为一个应用，我们证明对于具有Dunford性质（$C$）的可逆算子$T$，若$T^{-1}$是非传递的且存在$int\sigma(T^{-1})^\land$的一个连通分支$\Omega$偏离原点使得$\Omega\cap\rho_F(T^{-1})\neq \emptyset$，则$T$也是非传递的。在文末，我们证明了在无限维空间$L_1(\Omega,\sum,\mu)$（相应地，$C(K)$，即完备度量空间$K$上有界连续函数空间）上不存在非平凡不变子空间的有界线性算子的充要条件是$(\Omega,\sum,\mu)$是$\sigma$-有限的（相应地，$K$是紧的）。