非贫乏 P-滤子的七种刻画

我们给出了若干拓扑/组合条件，对于 $\omega$ 上的滤子，这些条件等价于成为非贫乏 $\mathsf{P}$-滤子。特别地，我们证明了一个滤子是计数稠密齐次的，当且仅当它是一个非贫乏 $\mathsf{P}$-滤子。在此，我们通过特征函数将滤子识别为 $2^\omega$ 的子空间。在此过程中，我们将 Miller 关于 $\mathsf{P}$-点的结果推广到非贫乏 $\mathsf{P}$-滤子，并采用且给出了 Marciszewski 结果的新证明。我们还采用了 Hern\'andez-Guti\'errez 和 Hru\v{s}\'ak 的定理，并回答了他们提出的两个问题。我们的结果还解决了 Medini 和 Milovich 提出的几个问题，并证伪了他们的一个“定理”。此外，我们表明陈述“每个非贫乏滤子都包含一个非贫乏 $\mathsf{P}$-子滤子”独立于 $\mathsf{ZFC}$（更确切地说，它是 $\mathfrak{u}<\mathfrak{g}$ 的推论，而其否定是 $\Diamond$ 的推论）。由 Hru\v{s}\'ak 和 van Mill 的结果可知，在 $\mathfrak{u}<\mathfrak{g}$ 下，一个滤子拥有少于 $\mathfrak{c}$ 种类型的计数稠密子集，当且仅当它是一个非贫乏 $\mathsf{P}$-滤子。特别地，在 $\mathfrak{u}<\mathfrak{g}$ 下，存在一个具有 $\mathfrak{c}$ 种类型计数稠密子集的超滤子。我们还表明，在 $\mathsf{MA(countable)}$ 下也存在这样的超滤子。