大型波兰空间积中的可数稠密同质性

我们给出对波兰空间积可数稠密同质性的统一处理，重点关注不可数积。我们的主要结果表明，若少于 $\mathfrak{p}$ 个波兰空间的积满足以下条件，则其为可数稠密同质性：(1) 每个因子均为强局部同质性，(2) 每个因子对每个 $n\in\omega$ 均为强 $n$ 同质性，(3) 积中的每个可数子集均可置于一般位置。例如，利用上述定理，可证明 $2^\kappa$、$\omega^\kappa$、$\mathbb{R}^\kappa$ 和 $[0,1]^\kappa$ 对每个无限 $\kappa <\mathfrak{p}$ 均为可数稠密同质性（这些结果除 $\omega^\kappa$ 外均归功于 Stepr\={a}ns 与 Zhou）。事实上，作为一种新应用，我们将证明：若少于 $\mathfrak{p}$ 个具有边界的连通流形的积中，边界要么全无，要么有无限多个，则其为可数稠密同质性。这概括了 Yang 的结果。我们将在讨论和运用涉及可数集一般位置的若干结果后，表明我们的主要结果及其推论是最优的。