Nikodym 性质与 $\omega$ 上的滤子

对于 $\omega$ 上的自由滤子 $F$，令 $N_F=\omega\cup\{p_F\}$，其中 $p_F\not\in\omega$，并赋予其如下拓扑：$\omega$ 的每个元素都是孤立的，而 $p_F$ 的所有开邻域均具有 $A\cup\{p_F\}$ 的形式，其中 $A\in F$。本文旨在研究布尔代数的 Nikodym 性质背景下形如 $N_F$ 的空间。用 $\mathcal{AN}$ 表示所有满足以下条件的 $\omega$ 上理想 $\mathcal{I}$ 的类：对于对偶滤子 $\mathcal{I}^*$，空间 $N_{\mathcal{I}^*}$ 承载一个有限支撑符号测度序列 $\langle\mu_n\colon n\in\omega\rangle$，使得 $\|\mu_n\|\rightarrow\infty$ 且对于每个闭开子集 $A\subseteq N_{\mathcal{I}^*}$ 有 $\mu_n(A)\rightarrow 0$。我们证明了 $\mathcal{I}\in\mathcal{AN}$ 当且仅当存在 $\omega$ 上的密度次测度 $\varphi$ 使得 $\varphi(\omega)=\infty$ 且 $\mathcal{I}$ 包含在穷尽理想 $\mbox{Exh}(\varphi)$ 中。因此，我们得到：如果对于 $\omega$ 上某个满足 $\varphi(\omega)=\infty$ 的密度次测度 $\varphi$ 有 $\mathcal{I}\subseteq\mbox{Exh}(\varphi)$，且 $N_{\mathcal{I}^*}$ 同胚于给定布尔代数 $\mathcal{A}$ 的 Stone 空间 $St(\mathcal{A})$ 的子空间，则 $\mathcal{A}$ 不具有 Nikodym 性质。我们观察到每个 $\mathcal{I}\in\mathcal{AN}$ 在 Kat\v{e}tov 序下低于渐近密度零理想 $\mathcal{Z}$，并证明了类 $\mathcal{AN}$ 拥有一个大小为 $\mathfrak{d}$ 的子集，该子集关于 Kat\v{e}tov 序 $\leq_K$ 是占优的，但 $\mathcal{AN}$ 没有 $\leq_K$-极大元。我们表明，对于密度理想 $\mathcal{I}$，$\mathcal{I}\not\in\mathcal{AN}$ 当且仅当 $\mathcal{I}$ 是完全有界的，当且仅当布尔代数 $\mathcal{P}(\omega)/\mathcal{I}$ 包含一个可分分裂族。