模的完全上同调中的幂零性与对偶

设 $G$ 为有限群，$k$ 为特征 $p>0$ 的域。我们考虑完全上同调环 $\mathcal{E}_M^* = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \widehat{Ext}^n_{kG}(M,M)$。我们证明该环有两个 distinguished 理想 $I^* \subseteq J^* \subseteq \mathcal{E}_M^*$，使得 $I^*$ 在次数上上有界，$\mathcal{E}_M^*/J^*$ 在次数下下有界，且 $J^*/I^*$ 最终周期且具有有界维数的项。我们证明若 $M$ 既非投射也非周期，则 $\mathcal{E}_M^*$ 中所有负次数元素构成的子环是幂零代数。