分次 $D$-模的对偶性与德拉姆上同调

我们考虑多项式环 $R = k[x_1, \ldots, x_n]$（$k$ 是特征零的域）上分次 $\D$-模 $M$ 的（分次）Matlis 对偶 $\DD(M)$，并证明它可以赋予 $\D$-模的结构，使得只要 $\dim_kH^i_{dR}(M)$ 有限，就有 $H^i_{dR}(M)$ 与 $H^{n-i}_{dR}(\DD(M))$ 是 $k$-对偶的。作为推论，我们证明若 $M$ 是一个分次 $\D$-模且 $H^n_{dR}(M)$ 是有限维 $k$-空间，则 $\dim_k(H^n_{dR}(M))$ 是存在满 $\D$-线性同态 $M \rightarrow E^s$ 的最大整数 $s$，其中 $E$ 是最高局部上同调模 $H^n_{(x_1, \ldots, x_n)}(R)$。这将 Hartshorne 与 Polini 最近关于形式幂级数环的结果推广到多项式环的情形；我们也应用同一组思想给出他们结果的另一种证明。当 $M$ 是有限生成分次 $\D$-模且对某个 $i$ 有 $\dim_kH^i_{dR}(M)$ 有限时，我们进一步推广上述结果，证明 $H^{i}_{dR}(M)$ 与 $\Ext_{\D}^{n-i}(M, \E)$ 是 $k$-对偶的。