Tate 上同调的有限生成性

设 $G$ 为有限群，$k$ 为特征 $p$ 的域。给定一个有限生成的不可分解非投射 $kG$-模 $M$，我们猜想：若 $G$ 以 $M$ 为系数的 Tate 上同调 $\HHHH^*(G, M)$ 在 Tate 上同调环 $\HHHH^*(G, k)$ 上是有限生成的，则 $M$ 的支撑簇 $V_G(M)$ 等于整个极大理想谱 $V_G(k)$。我们证明了支持该猜想的若干结果。对于 $kG$ 的稳定 Auslander-Reiten 箭图中位于 $k$ 所在连通分支内的模，该猜想的逆命题成立；但一般而言，该逆命题被证明是不成立的。此外，我们还证明了：群 $G$ 上的所有有限生成 $kG$-模均具有有限生成的 Tate 上同调，当且仅当 $G$ 具有周期性上同调。