具有逐点收敛拓扑的群值连续函数

我们用$C_p(X,G)$表示从空间$X$到拓扑群$G$的所有连续函数构成的群，并赋予其逐点收敛拓扑。若拓扑群$C_p(X,G)$和$C_p(Y,G)$拓扑同构，则称空间$X$和$Y$是$G$-等价的。我们研究哪些拓扑性质被$G$-等价保持，特别侧重于用$C_p(X,G)$的性质来刻画$X$的拓扑性质。由于$\mathbb{R}$-等价与$l$-等价一致，因此这一研究方向将经典$C_p$理论（Arhangel'skii）的主要课题作为特例（当$G = \mathbb{R}$时）包含在内。我们引入了一类新的TAP群，它包含所有无小子群群（NSS群）。我们证明：(i) 对于给定的NSS群$G$，$G$-正则空间$X$是伪紧的当且仅当$C_p(X,G)$是TAP群；(ii) 对于可度量的NSS群$G$，$G^*$-正则空间$X$是紧的当且仅当$C_p(X,G)$是具有可数紧性的TAP群。特别地，Tychonoff空间$X$是伪紧的（紧的）当且仅当$C_p(X,\mathbb{R})$是TAP群（具有可数紧性）。我们证明Tychonoff空间$X$和$Y$是$\mathbb{T}$-等价的当且仅当它们的自由预紧阿贝尔群拓扑同构，其中$\mathbb{T}$表示商群$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$。作为推论，我们得到对于每个阿贝尔预紧群$G$，$\mathbb{T}$-等价蕴含$G$-等价。我们证明$\mathbb{T}$-等价保持以下拓扑性质：紧性、伪紧性、$\sigma$-紧性、Lindelöf $\Sigma$-空间性质、紧可度量空间性质、（有限）连通分支数、连通性、完全不连通性。我们构造了一个$\mathbb{R}$-等价（即$l$-等价）但非$\mathbb{T}$-等价的例子。