射影空间 $X$ 的 $C_p^*(X)$ 空间在 Borel-Wadge 层次中的分类

我们研究了具有逐点收敛拓扑的有界连续函数空间 $C^*_p(X)$ 的复杂性。由于对于可分度量空间 $X$，已知 $C^*_p(X)$（以及所有连续函数空间 $C_p(X)$）中的 Borel 集的可测空间同构于标准 Borel 空间的子空间，因此我们可以使用描述集合论方法。A. Andretta 和 A. Marcone 证明了：如果 $X$ 是 $\sigma$-紧度量空间，则可测空间 $C_p(X)$ 和 $C^*_p(X)$ 是标准 Borel 空间；如果 $X$ 是非 $\sigma$-紧的可度量解析空间，则连续函数空间是 Borel-$\Pi^1_1$-完全的。他们还在射影决定性 (PD) 的假设下确定了任意射影空间 $X$ 的 $C_p(X)$ 的复杂性，并询问类似结果是否适用于 $C^*_p(X)$。我们给出了肯定的回答，即在 PD 假设下证明：如果 $n \geq 2$ 且 $X$ 是属于 $\Sigma^1_n$ 但不属于 $\Sigma^1_{n-1}$ 的可分度量空间，则可测空间 $C^*_p(X)$ 是 Borel-$\Pi^1_n$-完全的。这在 PD 假设下完成了射影空间 $X$ 的 $C^*_p(X)$ 的 Borel-Wadge 复杂性的分类。