关于导数满足 Lipschitz 条件且闭范围算子零点存在性的描述

设 $H$ 为实希尔伯特空间，$\Phi:H\to H$ 为具有 Lipschitz 导数且范围闭的 $C^1$ 算子。我们证明 $\Phi^{-1}(0)\neq\emptyset$ 当且仅当，对每个 $\epsilon>0$，存在一个凸集 $X\subset H$ 和一个凸函数 $\psi:X\to {\bf R}$，使得 $\sup_{x\in X}(\|x\|^2+\psi(x))-\inf_{x\in X}\|x\|^2+\psi(x))<\epsilon$ 且 $0\in \overline{conv}(\Phi(X))$。