Rolle 定理在无限维 Banach 空间中要么不成立要么平凡

我们证明了 Banach 空间中 C^p（Lipschitz）光滑性的如下新刻画。一个无限维 Banach 空间 X 具有 C^p 光滑（Lipschitz）凸包函数当且仅当它具有另一个 C^p 光滑（Lipschitz）凸包函数 f，使得对 f 的支撑内部每一点 x 都有 f'(x)≠0（即 f 不满足 Rolle 定理）。此外，该凸包的支撑可假定为一个光滑星型体。作为该结果证明的副产品，我们还获得了其他有用的 C^p 光滑性刻画，它们涉及某类消去微分同胚的存在性，以及涉及即便在所有无限维空间的星型体光滑自映射上 Brouwer 不动点定理的失效。最后，我们研究了 Hilbert 空间 ℓ_2 中凸包函数梯度集合的结构，并作为 Rolle 定理在无限维中失效的后果得到如下结果。Hilbert 空间 ℓ_2 的通常范数可被 C^1 光滑 Lipschitz 函数 ψ 一致逼近，使得由导数集合 ψ'(ℓ_2) 生成的锥具有空内部。这意味着 ℓ_2 中存在 C^1 光滑 Lipschitz 凸包，其梯度集合生成的锥具有空内部。