希尔伯特空间紧子集上1-喷射的凸$C^1$延拓

设$X$为希尔伯特空间。给定$X$的紧子集$K$与两个连续函数$f:K\to\mathbb{R}$、$G:K\to X$，我们证明：存在凸函数$F\in C^1(X)$使得在$K$上$F=f$且在$K$上$\nabla F=G$的充要条件是1-喷射$(f, G)$满足(1) 对所有$x, y\in K$，$f(x)\geq f(y)+ \langle G(y), x-y\rangle$，以及(2) 若$x, y\in K$且$f(x)= f(y)+ \langle G(y), x-y\rangle$，则$G(x)=G(y)$。我们还解决了将$K$替换为$X$的任意有界子集、并将$C^1(X)$替换为在$X$有界子集上导数一致连续的可微函数类$C^{1,u}_{b}(X)$的类似问题。