基于正则项光滑度阶数的凸正则化收敛性分析

本文研究了带有光滑、下半连续凸正则项 $J(\cdot)$ 的最小二乘泛函极小化问题的求解。在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 的某个紧凸子集 $\Omega$ 上，正则项被隐式定义为 $J(\cdot) : \mathcal{C}^{k}(\Omega , \mathcal{H}) \rightarrow \mathbb{R}_{+}$，其中 $k \in \{1,2\}$。因此，与给定的线性、紧且单射的前向算子 $\mathcal{T} :\Omega \subset \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ 相关联的代价泛函为：\begin{align} F_{\alpha}(\cdot , f^{\delta}) := \frac{1}{2} \Vert \mathcal{T}( \cdot ) - f^{\delta}\Vert_{\mathcal{H}}^2 + \alpha J(\cdot) , \nonumber \end{align} 其中 $f^{\delta}$ 是给定的扰动数据，其扰动量为 $\delta$。本文分析了正则化最优解 $\varphi_{\alpha(\delta)} \in \mbox{argmin} F_{\alpha}(\varphi , f^{\delta})$ 收敛到真解 $\varphi^{\dagger}$ 的情况，该收敛性依赖于正则项的光滑度阶数，即 $J(\cdot) : \mathcal{C}^{k}(\Omega , \mathcal{H}) \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ 中 $k \in \{1,2\}$ 的情形。在这两种情形下，我们定义了一个正则化参数，使其满足条件：\begin{align} \alpha(\delta , f^{\delta}) \in \{ \alpha > 0 \mbox{ }\vert \mbox{ }\Vert\mathcal{T}\varphi_{\alpha}^{\delta} - f^{\delta}\Vert \leq \tau\delta \} , \nonumber \end{align} 其中 $\tau \geq 1$ 为某固定常数。在 $k = 2$ 的情形下，我们能够利用泛函 $F_{\alpha}(\cdot , f^{\delta})$ 的 Hessian Lipschitz 常数 $L_H$ 来评估偏差 $\Vert\mathcal{T}\varphi_{\alpha(\delta)} - f^{\delta}\Vert\leq \tau\delta$。