拉普拉斯变换 Ingham 定理中的最优陶伯常数

众所周知，存在一个绝对常数 $\mathfrak{C}>0$，使得如果一个有界函数 $\rho$ 的拉普拉斯变换 $G(s)=\int_{0}^{\infty}\rho(x)e^{-s x}\:\mathrm{d}x$ 能解析延拓通过虚轴上线段 $(-i\lambda ,i\lambda )$ 的每一点，那么 $$\limsup_{x\to\infty} \left|\int_{0}^{x}\rho(u)\:\mathrm{d}u - G(0)\right|\leq \frac{ \mathfrak{C}}{\lambda} \: \limsup_{x\to\infty} |\rho(x)|.$$ 迄今为止该常数 $\mathfrak{C}$ 的最知名值是 $\mathfrak{C}=2$。在本文中，我们证明该不等式在 $\mathfrak{C}=\pi/2$ 时成立，并且该值是尽可能优的。我们还锐化了拉普拉斯变换的其他相关复陶伯定理有限形式中的陶伯常数。