与中心平移不变密度基相关的 Tauberian 常数

本文给出了与中心平移不变微分基相关的 Tauberian 常数使得该基为密度基的充分必要条件。更确切地说，给定 $x \in \mathbb{R}^n$，设 $\mathcal{B} = \cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}(x)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中包含 $x$ 的有界开集族。进一步假设这些集合族是平移不变的，即对于 $\mathbb{R}^n$ 中的任意两点 $x$ 和 $y$，有 $\mathcal{B}(x + y) = \{R + y : R \in \mathcal{B}(x)\}$。与这些集合族相关联的极大算子 $M_{\mathcal{B}}$ 定义为 $$M_{\mathcal{B}}f(x) :=\sup_{R \in \mathcal{B}(x)} \frac{1}{|R|} \int_R |f|.$$ 与 $M_{\mathcal{B}}$ 相关的 Tauberian 常数 $C_{\mathcal{B}}(\alpha)$ 定义为 $$C_{\mathcal{B}}(\alpha) :=\sup_{E \subset \mathbb{R}^n \atop 0 < |E| < \infty} \frac{1}{|E|}|\{x \in \mathbb{R}^n :\, M_{\mathcal{B}}\chi_E(x) > \alpha\}|.$$ 给定 $0 < r < \infty$，设 $\mathcal{B}_r(x) :=\{R \in \mathcal{B}(x) : \mathrm{diam } R < r\}$，并令 $\mathcal{B}_r :=\cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}_r (x)$。我们证明 $\mathcal{B}$ 是密度基当且仅当，给定 $0 < \alpha < \infty$，存在 $r = r(\alpha) >0$ 使得 $C_{\mathcal{B}_r}(\alpha) < \infty$。随后，我们构造了一个中心平移不变密度基 $\mathcal{B} = \cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}(x)$，使得不存在任何 $0 < r$ 满足对所有 $0 < \alpha < 1$ 均有 $C_{\mathcal{B}_{r}}(\alpha) < \infty$。