调和分析中的 Solyanik 估计

设 $\mathcal{B}$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中开有界集的集合，并定义相关的极大算子 $M_{\mathcal{B}}$ 为 $$M_{\mathcal{B}}f(x) := \sup_{x \in R \in \mathcal{B}} \frac{1}{|R|}\int_R |f|.$$ 与 $\alpha$ 相关的 $M_{\mathcal{B}}$ 的 sharp Tauberian 常数记为 $C_{\mathcal{B}}(\alpha)$，定义为 $$C_{\mathcal{B}}(\alpha) := \sup_{E :\, 0 < |E| < \infty}\frac{1}{|E|}\big|\big\{x \in \mathbb{R}^n:\, M_{\mathcal{B}}\chi_E (x) > \alpha\big\}\big|.$$ 受 A. A. Solyanik 先前工作的启发，我们证明了如果 $M_{\mathcal{B}}$ 是与球相关的非中心 Hardy-Littlewood 极大算子，则估计 $$\lim_{\alpha \rightarrow 1^-}C_{\mathcal{B}}(\alpha) = 1$$ 成立。我们还获得了关于迭代极大函数的类似结果，并讨论了 Solyanik 估计领域中的开放问题。